Pitagoras
Pitagoras pochodził z wyspy Samos. Urodził się około roku 580 przed naszą erą. Wielki wpływ na rozwój myśli Pitagorasa miał jego pobyt w Egipcie. Najbardziej twórczy okres swego życia spędził Pitagoras w Krotonie, w Wielkiej Grecji ( Italia południowa ), i tam też powstała filozoficzna szkoła pitagorejska, która ma wielkie zasługi w rozwoju matematyki greckiej. Pitagoras sądził, że podstawą ładu wszechrzeczy jest liczba (dziś powiedzielibyśmy : liczba naturalna). Zainteresowanie Pitagorasa i jego szkoły własnościami liczb było źródłem późniejszej teorii liczb.
Pitagoras szukał związków liczbowych w utworach geometrycznych. Znany mu był tak zwany trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3, 4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny, i używano go wytyczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. (14kB) Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego wyrażony wzorem 32 + 42 = 52.
Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek a2 + b2 = c2, Pitagoras znalazł wzory, które w nowoczesnej symbolice można napisać w postaci:
a = 2n + 1,
b = 2n(n + 1),
c = 2n2 + 2n + 1,
gdzie n oznacza dowolną liczbę całkowitą. Okazało się, że każdy trójkąt o takich bokach jest trójkątem prostokątnym. Obecnie trójkąty prostokątne o bokach wyrażonych liczbami naturalnymi nazywamy trójkątami pitagorejskimi. Pitagorasowi przypisuje się odkrycie twierdzenia, że kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa się sumie kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych; jest to słynne twierdzenie Pitagorasa. Początkowo sądzono, że boki każdego trójkąta prostokątnego można wyrazić takimi liczbami naturalnymi a, b, c, iż będzie spełniony związek a2 + b2 = c2. Dalsze badania szkoły pitagorejskiej wykazały, że tak nie jest. Tak na przykład trójkąt prostokątny równoramienny (stanowiący połowę kwadratu) nie jest trójkątem pitagorejskim: nie można znaleźć takich liczb naturalnych a, b, c, żeby był spełniony warunek
a2 + b2 = c2 czyli 2a2 = c2.
Było to dla szkoły pitagorejskiej odkrycie wstrząsające: załamała się wiara w to, że wszystkie zjawiska we wszechświecie można ująć za pomocą liczb naturalnych. Wrażenie odkrycia przeciwieństwa między światem liczb a światem utworów geometrycznych było tak wielkie, że pitagorejczycy utrzymywali odkrycie w tajemnicy – i w dalszych badaniach starannie oddzielano dociekania geometryczne od arytmetycznych. Wpłynęło to hamująco na rozwój arytmetyki greckiej, ale za to przyczyniło się do wspaniałego rozwoju geometrii.
Chluba matematycznej myśli pitagorejskiej.
Najsłynniejszym twierdzeniem Pitagorasa jest to, że kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa się sumie kwadratów zbudowanych na obu przyprostokątnych.
I odwrotnie: jeżeli boki a, b, c, trójkąta spełniają warunek pitagorejski
a2 + b2 = c2,
to trójkąt jest prostokątny, mianowicie ma kąt prosty naprzeciwko boku c.
Szczególnie ciekawe są trójkąty, których wszystkie boki są wyrażone liczbami naturalnymi spełniającymi warunek pitagorejski; trójkąty takie nazywają się trójkątami pitagorejskimi. Tak np. trójkąt o bokach 3, 4, 5 spełnia warunek pitagorejski:
32 + 42 = 52.
A więc trójkąt ten jest prostokątny; jest to najprostszy trójkąt pitagorejski. W praktycznym zastosowaniu do budowy kąta prostego (czyli do budowy linii prostych wzajemnie prostopadłych) trójkąt o bokach 3, 4, 5 na pewno znany był od wieków Egipcjanom i starożytnym ludom Azji. Nie jest to dziełem przypadku, że takie właśnie proporcje znajdują archeolodzy zarówno w wymiarach głazów ciosanych piramidy Chefrena, jak i w świątyni Słońca w Baalbeku w Syrii. Jeszcze znamienniejsze jest jednak to, że w słynnej piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary w sposób szczególny związane z liczbami 3, 4, 5.
Przekątna całego wielościanu zawiera 5 tych samych jednostek, których krawędź najdłuższa zawiera 4, a przekątna najmniejszej ściany zawiera 3. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 uważany był w Starożytności za figurę magiczną.
Ma on istotnie jeszcze inne ciekawe własności: obwód jego wyraża się liczbą 12, pole zaś równa się 6, a więc liczbie kolejnej po trzech liczbach oznaczających długości boków; ponadto
63 = 33 + 43 + 53.
Nic dziwnego zatem, że – według Plutarcha – jest to najpiękniejszy z trójkątów.
Nie ulega zatem wątpliwości, że jak dawniej, tak i jeszcze kilkadziesiąt lat temu budowniczy wioskowy, zakładając fundamenty chaty czy obory, kreśli trójkąt o bokach 3, 4, 5, aby uzyskać kąt prosty; to samo przed tysiącami lat czyniono przy budowie wspaniałych świątyń w Egipcie, Babilonie, Chinach, a zapewne i w Meksyku.
Pitagoras nie był więc odkrywcą owej właściwości trójkąta prostokątnego, lecz pierwszy zdołał to twierdzenie uogólnić, przenieść z dziedziny praktycznej na teren nauki i – udowodnić. W jaki sposób tego dokonał? Nie wiadomo.
Drugim wielkiej doniosłości twierdzeniem geometrycznym przypisywanym Pitagorasowi jest twierdzenie o sumie kątów trójkąta, równej dwóm kątom prostym.
